第六十八 为难（2 / 2）

蓝青一听，火药味十足啊！这是要给自己一个下马威？

不过蓝青也没有多说什么，毕竟这是在人家的地盘，何况，蓝青本就不是爱抢风头的人！

不过，自己作为中科大的学生，也不会丢其脸，该出手时就出手！

作为物理空间的专业生，蓝青这一块真不是虚的！

邓海在讲台上出了一道题：

“一颗质量为$m$的小行星以速度$v$从远离地球的无限远处飞来，它的轨道与地球的距离为$r$。假设行星与地球之间的引力是万有引力，它们之间的距离是$r$。请问这颗小行星将飞越地球的最近点的高度$h$是多少？”

提示：在质心系中计算，并利用能量守恒和角动量守恒的原理。

邓海很明显的在针对蓝青，说道：“这些题我们华大都已经学过了，不知道新来的同学你们有没有学过啊”！

教室内，所有人都露出思索的神色，这题他们不会啊，也没有学过！

然后都露出意味深长的神色，这是导师要给新来的同学一个下马威！华大和中科大一直都是竞争对手，学院的排名一直都是不相上下，所以，利用学术问题为难一下交换生都是常有的事！

这道题，就算是邓海亲自解，也要绞尽脑汁，不是一时半会的工作量！

对此，他希望蓝青知难而退，想听蓝青说一句：“抱歉导师，我不会”！

然后接下来，他就可以顺势数落一下中科大，然后抬高华大！

看着蓝青陷入沉思，邓海导师嘴角勾起。

不过这个如意算盘登海导师算是落空了！

蓝青笑着说道：“我试试”！

然后步履坚定地走上讲台，背对着众人，在黑板上划动。

根据题目，我们可以列出以下公式：

在质心系中，小行星以速度$v$沿着半径为$r$的圆形轨道运动，它的角动量$l=mvr$是守恒的。

根据能量守恒，小行星的总机械能等于它在无限远处的机械能，即$e=\\frac{1}{2}mv^2-\\frac{gmm}{r}=constant$，其中$g$为万有引力常数，$m$为地球的质量。

在最近点处，小行星的速度$v'$和距离$r'$可以通过角动量守恒和能量守恒计算得出：

$l=mvr=mv'r'$

$\\frac{1}{2}mv'^2-\\frac{gmm}{r'}=\\frac{1}{2}mv^2-\\frac{gmm}{r}$

将第一个式子代入第二个式子中，得到：$\\frac{1}{2}mv'^2-\\frac{gmm}{r'}=\\frac{1}{2}l^2\\frac{1}{m^2r^2}-\\frac{gmm}{r}$

化简后可得：

$v'^2=\\frac{2gm}{r'}+\\frac{l^2}{m^2r'^2}-\\frac{2gm}{r}-\\frac{l^2}{m^2r^2}$

我们知道，小行星在最近点处速度最大，因此$v'$可以通过$v'^2=\\frac{gm}{r'}$来计算。

将上述公式代入可得：$\\frac{gm}{r'}=\\frac{2gm}{r}-\\frac{l^2}{m^2r^2}+\\frac{l^2}{m^2r'^2}$

化简后可得：$r'^2=\\frac{l^2}{gmm}-\\frac{2l^2}{m^2v^2r}+\\frac{2gm}{v^2}$

因此，小行星将飞越地球的最近点的高度为：$h=r'-r=\\sqrt{\\frac{l^2}{gmm}-\\frac{2l^2}{m^2v^2r}+\\frac{2gm}{v^2}}-r$

其中，$r$为地球半径。

“导师，我完成了”！蓝青吐了口气说道。

接着有道：“小子不才，以前在中科大学过这道题，不过都忘得差不多了，也不知道解的对不对，还请导师指点一二”！

邓海导师，没有看蓝青，一直盯着蓝青的解题公式，心里也在默默计算着！

越看越心惊，这题解的太对了！

台下的众人，都是一脸的问号，这写的都是玩意！

不过邓海导师，强装镇定开口道：“不错，这题解的很好”！

然后，找人将黑板给擦干净道：“好了，接下来我们开始今天的讲课”！